UNITA' 1: ESERCIZI DI ANALISI CINEMATICA
Ing. Paolo Rugarli

Per prima cosa occorrerà familiarizzarsi con il conteggio dei gradi di vincolo e dei gradi di libertà, in modo da stabilire se la struttura appaia isostatica, iperstatica o ipostatica. Il numero dei gradi di libertà si ottiene moltiplicando per tre il numero di aste. Per asta si intende un insieme di elementi tra loro rigidamente incastrati (l’asta in quest’ambito può essere rettilinea o curvilinea, non importa). Di seguito si riportano alcuni esempi nei quali è indicato il conteggio dei gradi di libertà L e dei gradi di vincolo V.

Il mero conteggio dei gradi di libertà e di vincolo non basta a stabilire se una struttura sia “sicura”. Come vedremo tra breve, è necessario assicurarsi che i vincoli siano ben distribuiti e ben disposti. I vincoli sono mal distribuiti se risulta che una parte della struttura è troppo vincolata ed un’altra troppo poco. In questo caso un conteggio globale non può accorgersi del problema perché le carenze di una parte possono, in termini di bilancio aritmetico, essere più che compensate dall’eccesso di un’altra parte. E’ necessario saper ricondurre la struttura a schemi elementari per comprendere se vi sono problemi di distribuzione di vincoli.
Si consideri l’esempio che segue.

Qui risulta L=15 e V= 19, cosicchè apparentemente la struttura “è iperstatica”. Essa è iperstatica ma è anche ipostatica, nel senso che una parte risulta troppo vincolata, mentre un’altra parte, l’ultima asta a destra, risulta troppo poco vincolata (e infatti è libera di ruotare). Se ci fossimo limitati a concludere in base ad un mero conteggio avremmo erroneamente escluso ogni possibilità di movimento per la struttura in esame.

In questo secondo esempio è L=12 V=12, e dunque la struttura sembrerebbe isostatica. In realtà essa contiene zone di iperstaticità e zone di ipostaticità: il signore che appoggiasse la sua schiena a questo schienale andrebbe giù come un salame. Lo schienale è infatti vincolato con solo due vincoli, uno in meno del necessario.

Dovremo pertanto assicurarci che i vincoli siano ben distribuiti, potremmo dire democraticamente distribuiti.

Tuttavia non basta che i vincoli siano diffusi sulla struttura in modo da non lasciare parti sguarnite, è anche necessario che i vincoli siano orientati in modo opportuno.
Generalmente un’asta è vincolata direttamente “a terra” e/o ad altre aste di un sistema. Facciamo finta, per ora, che l’asta sia vincolata a terra. Prima di tutto cosa vuol dire “vincolato a terra”?
Nell’analisi cinematica si usa spesso il termine “terra” per indicare un sistema di riferimento rispetto al quale si valuta il moto.
E’ importante capire che “terra” può essere qualsiasi cosa, persino un corpo in movimento. Quello che interessa infatti è per definizione il moto del sistema in esame (le aste degli esercizi, ad esempio) rispetto al riferimento, non il moto del riferimento in sé. Poiché ciò che l’esperienza fa più frequentemente ritenere fisso è il suolo, il sistema di riferimento è la “terra” (che però, non è affatto ferma).
Si immagini il tavolinetto di uno scompartimento ferroviario. Esso è incastrato al vagone, e quindi incastrato “a terra” se si esamina il suo moto rispetto allo scompartimento: un signore seduto nello scompartimento dichiarerà che il tavolinetto è incastrato, tanto è vero che ci ha appoggiato sopra la sua bibita. Ciò non toglie che un altro osservatore, seduto in panchina in una stazione di transito, possa dichiarare che il tavolino sfreccia, insieme al vagone al quale è attaccato, a cento chilometri all’ora. Se si osserva il moto rispetto ad un sistema di riferimento, bisogna “salire” su quel sistema di riferimento e descrivere ciò che si vede in modo coerente.
“Terra” è dunque ciò che noi conveniamo di assumere come riferimento fisso in un dato momento.
Immaginiamo dunque che un’asta sia vincolata a terra. Se è vincolata con un incastro, questo da solo è sufficiente a garantire la fissità dell’asta.
Se invece l’asta è vincolata per mezzo di uno o più carrelli, pattini, cerniere, nessuno di questi vincoli è sufficiente, da solo, a garantire la fissità dell’asta. Il fatto è che ciascuno di questi vincoli lascia libero qualche movimento. Perché il sistema sia fisso questi movimenti lasciati liberi da un vincolo devono essere impediti dagli altri. Non deve esservi alcun movimento lasciato libero da tutti i vincoli esistenti, poiché altrimenti la struttura è labile.

Per fissare le idee consideriamo l’asta vincolata con cerniera e carrello.
La cerniera fa sì che l’asta possa esclusivamente ruotare rispetto al punto ove è collocata. Il carrello fa sì che l’asta possa esclusivamente ruotare rispetto ad uno qualsiasi dei punti della retta normale alla retta di scorrimento del carrello. Le due condizioni non sono compatibili se e solo se tale retta non passa per la prima cerniera.

Invece, se la retta passa per la cerniera, allora la cerniera è anche uno dei punti della retta normale alla retta di scorrimento del carrello, ed esiste un punto rispetto al quale l’asta è libera di ruotare. Questo particolare fenomeno, che dipende dal fatto che uno o più vincoli sono mal orientati, o mal disposti, prende il nome di labilità: i vincoli sarebbero in numero sufficiente, ma non sono indipendenti tra loro.

Il secondo classico caso di labilità è quello dell’arco a tre cerniere allineate. Qui di seguito alcuni esempi, tutti riferibili ad archi a tre cerniere allineate.

I casi visti sono casi classici: ad essi è possibile ricondurre moltissimi casi di labilità di strutture anche complesse. Tuttavia quando il sottosistema labile è inserito in un complesso strutturale, può diventare molto difficile riscontrare la labilità a occhio. Su strutture tridimensionali l’uso di metodi automatici è spesso indispendabile per garantirsi contro possibili labilità. Esiste tuttavia un’ampia classe di strutture per le quali la labilità può e deve essere riscontrata in fase di progetto, in modo da evitare che venga fisicamente realizzata. Per fare questo è necessario imparare a scomporre le strutture in parti cinematicamente interdipendenti.

Cominciamo a considerare gli schemi elementari titpici. Essi sono: la mensola ((ovvero l’asta incastrata), l’asta cerniera-carrello, l’arco a tre cerniere, il triangolo isostatico (tre aste collegate tra loro con tre svincoli interni, in modo da formare un insieme con tre soli gradi di libertà, come un’asta).

Se un’asta o un insieme di aste è fisso per grazia di certi vincoli, esso può, nei riguardi della analisi cinematica, essere considerato fisso come il riferimento, e pertanto ogni altra cosa che ad esso si attacca può essere considerata attaccata a “terra”.

Per esempio nella figura qui sopra si vede che l’asta orizzontale, essendo vincolata a terra con un incastro, è assimilabile a “terra”, così che l’asta verticale ha una cerniera “a terra” (perché è incernierata ad un estremo di un’asta della quale si è già mostrata la fissità), ed un carrello a terra. Dunque guardando lo schema in figura (quello in basso) l’analisi cinematica verrà spontanea vedendo che l’asta orizzontale è fissa per l’incastro, e che l’altra è fissa perché è assimilabile a cerniera-carrello.

Qui si ha un arco a tre cerniere montato su due mensole.

Mensola montata su arco a tre cerniere.

Proviamo ad applicare questi concetti a schemi più complessi. Nell’esempio che segue osserviamo che l’asta 1 e l’asta 5 sono vincolate all’asta 2 come un arco a tre cerniere a terra. Se l’asta 2 è fissa (è a terra) le aste 1 e 5 la seguono essendo isostaticamente vincolate ad essa. Le tre aste formano un’asta unica in quanto v’è un ciclo chiuso isostatico (con tre svincoli). Queste tre aste sono vincolate a terrra per mezzo di una cerniera impropria (il pattino) ed un carrello, e quindi sono fisse. Le aste rimanenti, la 3 e la 4 formano un altro arco a tre cerniere non allineate, montato sull’asta 2, che si può considerare “terra” perché ne è stata già mostrata la fissità.

Nell’esempio che segue ragioneremo invece così. L’asta 1 è incernierata a terra e così l’asta 3. Se potessimo dimostrare che l’asta 1 ha una cerniera relativa rispetto alla 3, avremmo ridotto l’asta 1 e la 3 ad un arco a tre cerniere. Per studiare il vincolo relativo tra la 1 e la 3 facciamo finta che una delle due sia fissa ed esaminiamo i vincoli dell’altra asta rispetto a questa (solo questi vincoli pperchéper ora siamo interessati al solo vincolo relativo).

Supponiamo che l’asta 1 sia fissa.

L’asta 3 è vincolata alla 1 per mezzo delle due bielle 4 e 2. Ciascuna di esse equivale ad un carrello come evidenziato nella seguente figura:

Le due cerniere “a terra” sono in realtà cerniere rispetto sull’asta 1, che però abbiamo immaginato fissa. Cinematicamente ogni biella è equivalente ad un carrello con piano di scorrimento perpendicolare alla retta che congiunge le due cerniere della biella, ecco dunque che la situazione sopra è cinematicamente equivalente a quella sotto. Dunque l’asta è come se fosse vincolata rispetto alla 1 con due carrelli, e dunque come una cerniera posta nel punto di incontro delle due rette perpendicolari al piano di scorrimento di ciascun carrello, punto che è all’infinito in direzione verticale. Dunque l’asta 3 è come se fosse incernierata in un punto all’infinito in direzione verticale rispetto alla 1. Allora la struttura è riconducibile ad un arco a tre cerniere non allineate.

L’esempio che segue viene invece studiato così.

L’asta 3 e l’asta 4 formano un arco a tre cerniere non allineate, e pertanto sono fisse. Tutto ciò che si attacca a loro è come se fosse attaccato a terra. L’asta 6 e l’asta a 5 formano un altro arco a tre cerniere montate su terra perché abbiamo dimostrato che la 4 e la 3 sono fisse. Anche la 1 e la 2 formano un arco a tre cerniere montato sull’arco formato dalla 3 e la 4.

L’esempio che segue è diverso.

L’asta 3 la 4 e la 2 sono montate assieme e formano un’asta unica (infatti vi è un ciclo chiuso con tre svincoli). Questa asta è incernierata a terra. Anche l’asta 1 è incernierata a terra. Il vincolo relativo tra l’asta 1 e le tre aste che formano un’asta unica è quello di una cerniera posta nel punto di incontro delle rette dei due carrelli relativi, C. Allora: l’asta 1 è incernierata a terra, le tre aste che formano un asta unica sono incernierate a terra, e queste due “aste” sono incernierate tra loro. L’intera struttura è assimilabile ad un arco a tre cerniere non allineate.